Come risolvere i problemi di matematica

Questo libro rappresenta uno strumento essenziale per chiunque intenda affrontare in modo sistematico il problem solving relativo alle situazioni più diverse.

Perché allora dare all’opera un titolo che sembra limitarne il campo di azione esclusivamente all’ambito dell’insegnamento della matematica?

Vediamo di scoprirne insieme le ragioni.

Autore dell’opera è George Polya, matematico ungherese che ha insegnato prima alla ETH Zürich in Svizzera e poi alla Stanford University, negli USA; la prima pubblicazione avviene nel 1945 con il titolo How To Solve It e rappresenta il primo, importante tentativo di trasferire un metodo per risolvere problemi.

Come affronta il compito il professor Polya?

Egli parte dalle esperienze maturate nell’insegnamento della matematica per individuare prima i processi mentali e poi le strategie che possono aiutarci a dare soluzione a una situazione complessa.

Strategie che possono essere adottate anche da persone che
con la matematica non hanno grande familiarità.

Due sono gli strumenti che egli impiega in modo sistematico:

• le domande, essenziali per demolire preconcetti e ampliare lo spazio di indagine. Nel corso del libro ti accadrà spesso di incontrare domande quali:
  • Qual è l’incognita?
  • Quali sono le informazioni disponibili?
  • Conosci un problema correlato, del quale è nota la soluzione?
• le euristiche, strategie che aiutano a risolvere i problemi e a scoprire nuovi orizzonti, preziose nell’innovazione. Trovare nuove soluzioni per analogia, attraverso l’introduzione di variabili ausiliarie o riducendo il problema principale in problemi di minore complessità e di più semplice soluzione, sono esempi di strategie euristiche splendidamente spiegate nel libro.

Come puoi vedere di seguito nel sommario, nel libro troverai moltissimi esempi pratici, con esercizi e soluzioni.

Il libro arriva in Italia solo nel 1967 ed è presumibile che non ne siano stati immediatamente colti l’importanza e l’impatto potenziale per quanto riguarda l’ambito industriale, soprattutto in tema di innovazione; per questo, l’editore deve aver cercato un mercato in ambito accademico, dando all’opera il titolo attuale.

Ho trovato video interessanti su Youtube: eccoli.

Raccomando la lettura del libro a una platea numerosa:

• agli insegnati;
• a quanti si occupano per ragioni professionali di problem solving e innovazione;
• a chi vuole semplicemente migliorare la propria efficacia di pensiero.

Comunque, ad altri non nuocerà di certo.

INDICE DEL LIBRO

• Nuove Convergenze: strumenti per l’insegnamento della matematica
• Prefazione
• Schema di risoluzione
• Introduzione

PARTE PRIMA: In classe

Scopo dello schema

• Come aiutare gli studenti
• Domande, raccomandazioni, operazioni mentali
• La generalità
• Il senso comune
• Collaborazione fra insegnante e studenti. Imitazione ed esercizio

Suddivisioni principali, domande fondamentali

• Le quattro fasi della risoluzione
• La comprensione del problema
• Esempio
• La compilazione di un piano
• Esempio
• Lo sviluppo del piano
• Esempio
• Alla fine
• Esempio
• Approcci diversi
• Il metodo dell’insegnante
• Domande efficaci e domande controproducenti

Altri esempi

• Un problema di costruzione
• Un problema di dimostrazione
• Un problema di calcolo differenziale

PARTE SECONDA: La risoluzione

Un dialogo

PARTE TERZA: Breve compendio di nozioni di euristica

• Analogia
• Elementi ausiliari
• Problemi ausiliari
• Bolzano
• Idea luminosa
• Si può verificare il risultato?
• Si può verificare il procedimento?
• Si può ottenere il risultato in altro modo?
• Si può sfruttare il risultato?
• Sviluppo del piano
• Condizione
• Contraddittorio in termini
• Corollario
• Si può enunciare il problema in altra forma?
• Si ricorra alle definizioni
• Scomporre e ricomporre
• Definizione
• Descartes
• Determinazione, speranza, successo
• Diagnosi
• Si è fatto uso di tutti i dati?
• È noto un problema connesso con questo?
• Si disegni una figura
• Si esaminino le proprie previsioni
• Figure
• Generalizzazione
• Questo problema è già noto?
• Ecco un problema connesso con quello proposto e risolto in precedenza
• Euristica
• Ragionamento euristico
• Induzione e induzione matematica
• Paradosso dell’inventore
• È possibile soddisfare alla condizione?
• Leibnitz
• Lemma
• Si rifletta sull’incognita!
• Euristica moderna
• Notazioni
• Pappo
• Pedanteria e padronanza
• Problemi pratici
• Problemi di determinazione, problemi di dimostrazione
• Progressi e compimento
• Giochi d’enigmistica
• Riduzione all’assurdo e dimostrazione indiretta
• Sovrabbondante
• Problema di routine
• Regole di scoperta
• Regole di stile
• Regole di insegnamento
• Si separino le varie parti della condizione
• Stabilire un’equazione
• Sintomi di progresso
• Particolarizzazione
• Lavoro subcosciente
• Simmetria
• Vocaboli, vecchi e nuovi
• Verifica dimensionale
• Il futuro matematico
• Il risolutore intelligente
• Il lettore intelligente
• Il professore di matematica tradizionale
• Variazione del problema
• Qual è l’incognita?
• Necessità delle dimostrazioni
• Saggezza dei proverbi
• Procedendo a ritroso

PARTE QUARTA: Problemi, suggerimenti, risoluzioni

• Problemi
• Suggerimenti
• Risoluzioni